Wie oft habe ich als kleines Kind am Rand der Stadt gestanden und über die Felder zum Horizont geblickt – auf die Burg, die im nächsten Dorf auf dem Hügel trohnte, und die auf der Verpackung des Grafschafter Goldsafts in ganz Deutschland zu sehen ist. Oder am Meer, wenn man in die Unendlichkeit blickt – so schien es mir zumindest. Und ein Lied sagt auch so treffend: Wo blau und blau sich treffen, kommt man trotzdem niemals an. Umso ernüchternder, wenn man sich einmal die Mühe macht, herauszufinden, wie weit entfernt der Horizont eigentlich ist. Ich gebe zu, das ist nicht unbedingt sehr romantisch, aber dafür überrascht das Ergebnis umso mehr: Es ist gar nicht so weit.

Gehen wir davon aus, dass wir am Strand stehen und den Sonnenuntergang im Meer beobachten. Um nun herauszufinden, wo (für uns) die Sonne hinterm Horizont verschwindet bilden die Tangente von unseren Augen zur Erdkugel. Um die Länge zu bestimmen behelfen wir uns eines alten mathematischen Gesetzes: Des Satz des Pythagoras.

Dieser besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Als Gleichung ausgedrückt lautet er a2 + b2 = c2. a ist also die eben erwähnte Tangente zur Erdkugel. Die Seite b geht vom Horizont zum Erdmittelpunkt, entspricht also dem Erdradius – etwa 6.371.000,785 Metern. Die längst Seite, die Seite c, geht vom Erdmittelpunkt bis zu unseren Augen, entspricht also in etwa: 6.371.000,785 m + 1,75 m = 6.371.002,535 m.

Um a herauszufinden muss die Gleichung also umgeformt werden:
a2 + b2 = c2 | −b2
<=> a2 = c2 − b2 | √
<=> a = √(c2 − b2)

Jetzt gilt es nur noch die Zahlen einzusetzen.

a = √(c2 − b2)
a = √(6.371.002,5352 − 6.371.000,7852)
a = √(4,05896733*1013 – 4,0589651*1013)
a = √22.298.500
a = 4.722,128757
a ≈ 4.722,13

Das bedeutet also: Die Strecke a ist etwa 4.722 Meter lang – und das entspricht auch der Entfernung bis zum Horizont: knapp 5 Kilometer. Deutlich weniger, als ich früher dachte – und schon gar nicht die Unendlichkeit, die man sich am Meer vorstellt. Selbstverständlich variiert dieser Wert, wenn man auf einem Berg steht, denn dann müsste man die Seite c entsprechend verlängern.

Bei meiner Suche nach der Lösung zur Frage, wie weit es bis zum Horizont ist, bin ich übrigens auf dieses Video gestoßen. Leicht andere Werte, aber ein ähnliches Ergebnis:

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